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第6章 演绎的科学

这是一则富含寓意的故事。

从前,有一个拥有一大瓮米的懒人。一天,他躺在米瓮边的一张席子上,开始想入非非:

“我把这些米卖掉,并买来尽量多的小鸡。这些鸡长大后会下很多蛋。然后我把鸡和蛋卖了,再买来许多猪。当这些猪长大的时候,便会生许多小猪。那时我再把它们卖了,买回一些水牛,有了水牛,就会有许多小水牛。如果我把它们卖了,我就有钱买一块地。有了地,便可以种稻米、甘蔗和谷物。有了收成,我还可以买更多的地。再经营几年,我就能够盖上一幢漂亮的房子。”

“当我盖好房子,我将娶一个世上最美的女人做妻子。”

“那时,我是多么的富有,多么的幸福啊!”

懒人兴奋得手舞足蹈,一不留神,一脚踢翻了米瓮,米瓮破了,顷刻间,米像水一般倾泻出来,落在肮脏的地面上。此时,邻居的一大群鸡蜂拥而来,把地上的米啄食精光。小鸡、猪、土地,房子和美丽的女人,一切的一切全都成了泡影。留给这个懒人的只是一只破了的瓮。

这个故事告诉人们:光想是不够的,更重要的是着手去做。千里之行,始于足下。不过,尽管懒人的结局是可悲的,但他的演绎术却颇值称道。演绎是一种证明的方法,它不是基于经验或尝试,也不依赖于人们的感官,而是建立在严格推理之上的。数学大厦的基础,正是用这种演绎的方法砌成的。

下面我们研究一下懒人是怎样进行一连串推理的。首先,他从一瓮米开始,提出命题:“如果有米,那么可以卖掉米,买来尽可能多的小鸡”。简记为:“若有米,则有鸡”。这实际上是关于“有米”者的一个命题,不论这有米者是谁。所以是个大前提。懒人的第二个命题是:“我有一瓮米”,这是小前提,如果上述两个前提为真,那么推出的结论一定不假。用P代表“有米”,Q代表“有鸡”,于是有:

[大前提]PQ,若有米,则有鸡。

[小前提]P,我有一瓮米。

[结论]Q,那么我有尽可能多的鸡。

懒人接下去的推理是:

[大前提]若有鸡,则有蛋

[小前提]我有鸡。

[结论]我有蛋。(我的鸡会生蛋)

[大前提]若有鸡和蛋,则有猪。

[小前提]我有鸡和蛋

[结论]我有尽可能多的猪。

……

以上这些都是演绎法的简单例子。这种由大前提、小前提和结论三部分组成的演绎推理方法,称为“三段论法”,在三段论法中,如果我们承认PQ是真实的,而由此推得的逻辑上的合理结论,可以写成:(PQ)/(P/Q)

如果P、Q是经验命题,这表明复合命题PQ可能成立,也可能不成立。后者只要举出一个反例就够了。例如“凡是鸡都会下蛋”,“若有鸡和蛋,则有猪”,这些经验命题都未必是成立的。这正是懒人悲剧之所在。而懒人的演绎推理方法,却是无可指责的。

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