数学作为一门兼有科学和技术的科学，它的动态性、开放性、广泛适用性正日益受到重视，人们已经认识到数学不再是鼓励静止的，而是动态的。因此学生的数学学习也不应停留在单纯的机械学习的层面上。数学活动学习正是顺应了新时期对数学的要求以及数学学习过程本身的特殊性。让学生在“做数学”和“用数学”的过程中，亲自感受和经历“发现”数学，并学习数学的过程。事实上，单纯被动地吸收知识并予以不断重复的强化的学习并不能真正内化为学生自己头脑中的知识，只有进行数学活动学习，知识才能真正内化，学生才能有所创造。
学生的数学活动学习，学到的不仅是知识，重要的是培养了能力，提高了素质。数学活动学习中学生表现出来的坚韧顽强，积极进取、勇于探索、持之以恒、合作协商等优良品质是未来社会需求于公民的基本素质。运用活动学习法将改变学生以往单纯的静态学习模式，使学生能更快地由“学会”过渡到“会学”。当然，活动学习的顺利开展离不开教师教学，实际上，活动学习对教师素质、教学设施及相应的活动教材提出了更高的要求，要求合理地利用课程资源，将活动学习与常规教学进行整合，以期让学生在知识和能力上获得共同发展。
（第八节 ）案例学习法
在我国现行的教育中，中小学生基本上受的是“原理教育”。即通过各种定理公式语法的学习，寻找“分析问题解决问题”的方法。这种方法很容易导致学生的行动公式化。与之相对比，“案例学习”最显著的特征是没有唯一正确的答案，“同一个问题，100个人可能主不有100个答案”。这主要是由于“案例”的具体性，造成它的求解必须是具体的对策。因此，运用案例学习法是培养中小学生创新学习能力的有效方式之一。
什么是案例？案例就是带有普遍性、代表性的典型例子，它反映一个问题、一件工作等的发生、发展和演变的过程，通过对这些典型例子的分析，提出解决问题的办法和思路。因此案例学习可以理解为根据所提供的案例，学生进行思考和探索，提出自自己的观点和解决方案，从而学习知识、运用知识，训练学生独立思考与判断的能力，发展有效的解决问题的能力，逐步培养学生的创新精神和实践能力。
根据教学的不同，案例可以分为描述性案例和分析性案例。描述性案例，一般是把事情的经过像讲故事一样原原本本地、具体生动地描述出来，学生根据阅读这样的案例，了解有关情况，弄懂理论原则，积累实际资料，掌握专业知识，加深对原理的认识。分析性案例，它除了具备描述的特点外，还包含可分析的问题，除了可了解情况外，还能锻炼学生观察问题、分析问题的能力。案例按其内容，双双可分为专题性案例和综合性案例。专题性案例，一般是针对某一问题编制的例子，以供学生分析某个问题用。综合性案例，则是把许多方面的问题综合起来变成案例，供学生思考分析。
案例学习法的显著特征为：
1.内容非定型化。
学生选择的学习内容、学习方式和处理的结果多种多样，没有固定的答案，只要有“理”都是正确的。案例学习在欧美等方国家中是比较有影响的，一个典型例子是美国哈佛大学用于培训管理人员而实行的学习方法。
2.思维非定势化。
学生在进行案例学习时，没有定势思维的束缚，思维充分发散，以解决具体问题。
3.结果非唯一化。
解决问题的答案不是唯一的。案例学习的宗旨不是传授“公式、定理”，而是通过对一个个具体案例的讨论和思考，去诱发学生的创造潜能。它甚至不在乎能不能得出正确答案，而重视的是得出答案的分析过程。
案例学习的基本步骤：
1.找到学习的案例。
找到学习所需要的案例是开展积极有效的案例学习的第一步，教师需要根据学习的内容，学生的学习特点、接受能力和知识水平进行选择甚至创设案例，促进学生进行学习和思考。教师所选择的案例必须具备一定的具体性、典型性、启发性和量力性，必须充分考虑学生的实际情况，留给学生一定的思维空间，激发学生的思维积极性并使学生能通过案例学习获得愉悦的心理体验。
2.找到学习的同伴。
不同的学生有不同的兴趣方向和思维方式，要能对同一案例进行学习，就需要有共同的兴趣，相领导有方的思维方式，在合作互助中提出较理想的解决方案，取得较好的学习效果。
3.营造合作的环境。
案例学习的过程，也是学生思维碰撞的过程，也就是学生讨论、争论的过程，这就需要营造合作的环境。
综上所述，案例学习的基本步骤为：阅览大量案例对案例进行信息加工接受教师指导形成新的概念。
（第九节 ）基于数学开放题的学习法
所谓基于数学开放题的学习，即是指强调从具体的数学开放题出发组织学习和教学，教学过程其实是以一系列的情景、实验或悬念，启发引导学生去动手、动脑，并在数学活动过程中发现、产生新的问题，进一步思索、猜想、反思、寻求方法……它强调把学习设置于复杂的、有意义的、开放式的问题情境中，通过让学习者解答问题，来学习隐含于问题背后的科学知识，使学生在思考、探究问题的过程中，建构灵活的知识基础，发展有效的解决问题的能力，逐步培养学生的创新精神和实践能力，并形成自主学习的能力。显然，在这样学习方法中，“数学开放题”在学习过程中起着举足轻重的作用，它是引导学生进行数学活动的启动器和动力源，是从未知到已知，从静态到动态的转换器，是维系数学活动的纽带。因此我们有必要对数学开放题做一个初步的理解。
数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。由此可知数学开放题是一种特殊的数学问题，它是一类为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题，而数学开放题（开放度）在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式。
数学开放题一般具有以下几个特点：
1.问题给出的条件往往是不完备的。
一个开放题的条件可以不足，有时也可以多余。条件不足时要求学生予以补充，条件多余时要求学生进行选择。
2.问题的答案是不确定的，具有层次性。
开放题解答的多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生的需求，使他们可以在自己的能力范围内解决问题，从而体现出层次性。
3.问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性。
解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思维模式，从多个角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。
4.问题的研究具有探索性和发展性。
对一个开放题的研究与封闭题有很大的不同，这主要体现在对答案的探索性（尽管解封闭题时有时也需要一定的探索，但其探索性大大低于开放题）和问题本身可层层发展为一系列的问题。
5.问题的教学具有参与性和学生主体性。
由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师在课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法。学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的。
关于数学开放题的分类有多种多样：
1.按命题要素分类。
数学命题一般可根据思维形式分成“假设—推理—判断”三个部分。一个数学开放题，若其未知的要素是假设，则为条件开放题；若其未知的要素是推理，则为策略开放题；若其未知的要素是判断，则为结论开放题；有的问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可称为综合开放题。
2.按答案结构分类。
开放题按照答案结构可以分为：（1）有限穷举型。这类问题的答案是有限的，可以穷举。（2）有限混沌型。这类问题的答案从理论上可以断定的是有限的，但实际上在解题者的知识水平上不可能把所有的答案一一列举出来，也就是说，答案的结构是混沌不清的。（3）无限离散型。这类问题的答案不但是无穷的，而且是离散的。对这类问题的解答，通常采用：一是将其答案作适当的分类，对每类答案列出一种典型的解法；另一种提供一种构造任意一个答案的方法，即提供一个寻找答案的“算法”，按照这种算法可以举出问题的任意一个答案。（4）无限连续型。这类问题的答案不但是无穷的，而且是连续的。
3.按解题目标分类，可以大致分为找规律或关系、量化设计、分类与整理、举例、数学建模、提问题、情境题、评价、一题多解等。
4.按编制方法分类，大致可以分为条件不足的问题、逆的问题、计数问题的弱化、变化与推广等。
基于数学开放题的学习模式：
1.教师在基于数学开放题的学习中的角色作用。
与传统教学、学习方式相比，在基于数学开放题的学习中，不仅仅是知识的传授者，而且是学生发展的促进者、指导者、启发者、学习者、示范者和合作者等。教师所起主导作用具体表现：实际问题的情境，提出问题，引导和组织学生去解决问题，对学生的不同答案作出评价。
2.学生在基于数学开放题的学习中的角色。
在基于数学开放题的学习中，学生不止是单纯的学习者，而且是合作者、参与者和实践者。在基于数学开放题的学习中，强调学生要成为一个自主学习者，学生要自我激励、设置学习目标、独立进行研究、进行自我引导的学习、将新建构的知识应用到复杂的问题解决中，并且还要监控和反思解决问题过程。而由于问题的复杂性，学生以小组为单位进行学习，因此，学生在这种学习法中也同样是合作者。在基于数学问题的学习中，学生是致力于解决问题的人，他们的学习活动涉及到提出问题、猜想结果、指定计划、观察、实验、进行表达与交流等各种活动，这些都于科学研究相类似，因此，学生也是一个研究者。
3.基于数学开放题的教学步骤。
教学步骤可以安排为：教师提出问题——学生动脑动手解答问题——讨论研究，师生合作交流——师生提出变式问题，深化研究——教师总结，或提出更一般化的问题。
在基于数学开放题的学习法中，开放题是组织教学的启动器和动力源，教学内容都镶嵌在具体的开放题中，它规定着教学的方向和特点，因此开放题的质量直接影响着教学的成败，这就要求教师要精心设计，选择合理的开放题引导学生进行探索和思考。
4.提倡合作学习。
由于问题的开放性和复杂性，在整个问题或某些环节的探索过程中，往往需要学习者的合作交流活动，通过相互沟通和鼓励形成积极的良性互动环境。
基于开放性数学问题的学习法促使师生之间、学生之间产生互动，相互交流，教学相长，共同发展，教师的权威由外在的制度性权威转变为内生的个人权威，师生关系更趋于平等。因此，这种学习法有利于提高学生学习的主动性和对学习的自我监控；学生能更加参与课堂教学中，并时常表达自己的想法；学生拥有更多的机会，全面地使用数学知识和技能；成绩较差的学生（也许因为某种思想方式的干扰）也能够以他们自己的方式回答问题；学生能够主动论证解决问题的思维方式；学生还能从中积累丰富的经验，乐于发现并接受其他同学的论证方式：同时由于学习过程中，学生需要相互协作，相互交流想法，相互鼓励和沟通，所以它还能促进学生间良好的人际关系的发展，促进学生心理品质的发展和社会技能的提高。
基于数学开放题的教学活动与传统实施的教学活动应该是互补的，并不是两者选其一。为了促进这种互补关系，教师应当更好地为学生提供多种学习机会，从多角度来挖掘问题情境，将传统教学材料设计成小规模的教学单元，替代一两次大规模的单元活动。同时由于开放式问题答案的不唯一性，问题情景没有预定的结果，学生会设计出各种不同的表达方式，积极地使用那些已学的或自然获得的知识、技能、观点及思维方式，因此有效地实施这种基于数学开放题的学习方式进行数学教学也是对教师的一种挑战。
（第十节 ）师生讨论学习法
师生讨论学习，是教师通过预先的设计与组织，就学习过程中遇到的某一个或多个问题，在教师指导下，通过师生共同探讨，提出各自的观点、结论，最终形成共识，达到掌握它的一种学习方法。师生讨论学习法是一种发生在教师与学生之间的学习法，它于学生的学习和教师的教学都具有积极的意义和重大的作用，有利于学生在学习中活跃思维，深化认识，发展独立性和批判性思维，有利于实现民主课堂。
一般来说，师生讨论学习需要经历以下四个环节：定题，讨论前的准备，师生进行讨论交流，总结。
1．定题。
精心设计并提出富有启发性的问题是成功运用师生讨论学习法的保证。在这里，所讨论的问题需遵循以下几个原则：
(1)具体性、准确性原则。好的讨论题首先必须表述准确，要使学生清楚地意识到所要讨论的问题的核心。其次是具体，有代表性，具体、特定的问题有助于引导讨论的方向。
(2)启发性原则。讨论题要具有启发性，能给学生一定的思维空间，使其思维有一定的自由度。
(3)量力性原则。讨论题必须考虑学生的学习心理特点、接受能力、知识水平等，要选择那难度适宜、既能激发学生的思维积极性，又能使学生能力得到提高的问题，不同年级的讨论题要有不同的参差和深度。
（4）兴趣性原则。在兴趣的推动下，学生进行问题的探究和思考的交率就会积极、主动。
(5)师生共同参与的原则。教师在设计讨论时就应当鼓励学生参与到讨论题的设计中。
2．讨论前的准备。
充分细致地进行讨论前的准备是师生之间的讨论得以顺利进行的前提。准备工作主要包括搜集讨论所需的资料，并在讨论表述观点的方法上对学生进行一定的指导。
3．师生进行讨论交流。
与传统的学习方式不同，在讨论的过程中，教师既是平等的参与者，又是组织者和引导者。教师应及时抓住讨论过程中学生的闪光点，并加以鼓励和总结，对讨论中的问题阐述自己的看法，引导讨论不断深入，使学生在原有的知识和能力水平上有所提高，同时教师要善于启发和诱导，提供多角度思路，使讨论向纵深发展，使学生的认识产生质的飞跃。
4．总结。
在对某个问题或若干问题的讨论后，教师指导学生根据讨论的内容，所获得的结果和达成的共识，整理并记录下来，写成一篇小报告，并对讨论的全过程进行回顾和总结。
师生讨论学习中要注意的几点问题：
1．要使讨论具有批判性。
