1.自行车和苍蝇
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20千米的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。
如果每辆自行车都以每小时10千米的高速前进，苍蝇以每小时15千米的高速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少千米？
每辆自行车运动的速度是每小时10千米，两者将在1小时后相遇于20千米距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15千米，因此在1小时中，它总共飞行了15千米。
许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。
据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰·冯·诺伊曼提出这个问题，他思索片刻便给出正确的答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，很多数学家总忽略简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。
冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的正是无穷级数求和的方法”，他解释道。
2.往返旅行
当我们驾驶汽车旅行的时候，汽车在不同的时刻当然会以不同的速度行驶。如果把全部距离除以驾驶汽车的全部时间，所得到的结果叫做这次旅行的平均速度。
史密斯先生计划驾驶汽车从芝加哥去底特律，然后返回。他希望整个往返旅行的平均速度为每小时60千米。在抵达底特律的时候，他发现他的平均速度只达到每小时30千米。
为了把往返旅行的平均速度提高到每小时60千米，史密斯在返回时的平均速度必须是每小时多少千米呢？
求解这道令人困惑的小小难题，并不需要知道芝加哥与底特律之间的距离。
在抵达底特律的时候，史密斯已经走过了一定的距离，这花去了他一定的时间。如果他要把他的平均速度翻一番，他应该在同样的时间中走过上述距离的两倍。很明显，要做到这一点，他必须不花任何时间便回到芝加哥。这是不可能的，因此史密斯根本没有办法把他的平均速度提高到每小时60千米。无论他返回时的速度有多快，整个旅行的平均速度肯定要低于每小时60千米。
如果我们为史密斯的旅行假设一个距离，事情便会容易理解一些。比如说，假设往返旅程各为30千米。由于他的平均速度为每小时30千米，他将用1小时的时间完成前一半的旅行。他希望往返旅行的平均速度为每小时60千米，这意味着他必须在1小时中完成整个60千米的旅程。可是，他已经把1小时的时间全都用了。无论他返回时速度有多快，他所用的时间全都用了。无论他返回时速度有多快，他所用的时间将多于1小时，因此他必定要用多于1小时的时间完成60千米的旅程，这使得他的平均速度低于每小时60千米。
