例2实数x，y满足x≥1，y≥1且（logax）2+(logay)2=log（ax2）+loga（ay2）。当a＞1时，求loga（xy）的取值范围。
分析：题中所涉及的logax，logay都可以看成一个复杂的变量，所以设u=logax，v=logay（其中u≥0，v≥0），则原题转化为：已知u≥0，v≥0且（u－1）2+（v－1）2=22，求u+v的取值范围。
很明显，原来复杂的问题经过一次转化，已经得到了简化。
此时，u+v中仍然含有两个变量，仍然难以求出u+v的取值范围，所以设u=1+2·cosθ，v=1+2sinθ（其是-π6≤θ≤23π），∴u+v=2+22sin（θ+π4）（π12≤θ+π4≤11π12），∴1+3≤u+v≤2+22，∴loga（xy）的取值范围是［1+3，2+22］。
第二次的转化是将题中涉及的两个变量转化为一个变量，这样，题目的求解就变得很简单。
3正面问题反面化
在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果。
例3若函数f（x）=mx2+（m－3）x+1的图像与x轴的两个交点中至少有一个在x轴的正半轴上，试求实数m的范围。
分析由于“f（x）的图像与x轴的两个交点中至少有一个在x轴的正半轴上”情况较复杂，它包括：（1）两个交点都在正半轴上；（2）只有一个交点在正半轴上，且后者又有另一交点在负半轴上或在原点。因此，欲直接求m的范围必须分情况讨论。现从反面考虑，改求“使交点都不在x轴的正半轴上”的m的范围。
由m≠0△=（m－3）2－4m＞0，解得m∈I=（-∞，0）∪（0，1）∪（9，+∞）又当两点都不在x轴的正半轴上时，有m∈I，3-mm＜0，
1m≥0，解得
m＞3且m∈I，即当m＞9时，f（x）的图像与x轴的两交点都不在x轴的正半轴上，那么当m＜0或0＜m＜1时，图像与x轴的正半轴至少有一个交点。
可见，正面的思考可能导出正确的结论，但反面的思考也常常使人茅塞顿开，绝处逢生。
4代数问题几何化
几何问题代数化是解析几何的基本方法，但如果能突破使用常规方法的思维定势，将代数问题用几何方法来研究，能有效地培养学生的思维能力，激发学生的创新意识。
（2003年全国高考题统编教材卷）
例4已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|＞1的解集为R。如果P和Q有且仅有一个正确，试求c的取值范围。
分析：此题用纯代数法求解比较麻烦，应设法将问题变换转化，经观察，并联系问题的几何意义，可以知道Q：x+|x－2c|＞1的几何意义为：在数轴上求一点P（x），使P到A（0），B（2c）的距离之和的最小值大于1。显然P在A左端或B右端时，|PA|+|PB|＞|AB|；
当P的线段AB上时，|AP|+|PB|=|AB|，那么P到A、B两点的最短距离为|AB|=2c＞1。所以c＞12。
5特殊问题一般化
特殊与一般是对立统一的，特殊融于一般之中。解题中通常是将一般问题特殊化，先用特殊的情形探求解题的思路或问题的结论，然后在一般情况下给出结论。但是若遇到有些特殊问题无法解决时，则可以及时打破“特殊”的定势，对问题进行从特殊到一般的转换。
例5设f（x）=4x4x+2，求f（12005）+f（22005）+…+f（20042005）。
分析：由所求中的数量特征：12005+20042005=1，22005+20032005=1，……可将问题转化为研究f（x）=4x4x+2的性质，因为f（a）+f（1-a）=4a4a+2+41-a41-a+2
=4a4a+2+44+2×4a=1，于是得出一般性结论f（a）+f（1－a）=1。这体现了从特殊到一般的转化思想。
解：∵f（a）+f（1－a）=4a4a+2+41-a41-a+2=1，
∴f（12005）+f（22005）+…+f（20042005）=［f（12005）+f（20042005）］+［f（22005）+f（20032005）］+…+［f（10022005）+f（10032005）］=1+1+…+1=10021002个
6变量问题常量化
在有些数学问题中，涉及到多个变元，我们可选取其中一个变元为“主元”，而把其他的变元看作常量，从而达到简化运算的目的。
例6
设f（x）=lg1+2x+…+(n-1)x+nxan
其中a∈R，n是任意给定的正整数，且n≥2。如果当x∈（－∞，1）时，f（x）有意义，求a的取值范围。
分析：本题有三个变元a，n，x，条件复杂，解题方向不明，但若选择a为“主元”，视n，x为“常量”，运作常量与变量转化的策略，问题容易解决。
解：由题意得：
1+2x+…+(n－1)x+nxa＞0，
∴a＞－［(1n)x+(2n)x+…+(n-1n)x］。∵n≥2，x∈（－∞，1）,
∴(1n)x+(2n)x+…+(n-1n)x≤1n+2n+…+n-1n=n-12，∴a＞-n-12。
7相等问题不等化
相等和不等是客观世界中的一对矛盾，也是数学中的两个重要关系。在许多情况下，把不等问题转化成相等问题，可以减少计算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能有效地突破难点，找到问题的核心，做到出奇制胜。
例7已知α、β都是锐角，且满足cosαsinβ+cosβsinα=2，
求：α+β的值。
分析：从条件cosαsinβ+cosβsinα=2来看，cosαsinβ和cosβsinα的含义是相同的，所以可考虑把2拆成1+1，来分析cosαsinβ和1的关系，也只有当cosαsinβ=1时，原条件成立，即cosα=sinβ，此时α+β=π2。也可逆向考虑，从条件可看出，当α+β=π2时，条件是成立的；当α+β＞π2时，有π2＞a＞π2－β＞0，此时有cosα＜cos（π2－β）=sinβ，从而有cosαsinβ＜1。同理，有cosβsinα＜1，所有cosαsinβ+cosβsinα＜2，不合题意，同理，当α+β＜π2时，也不合题意。在此题的思考过程中，常数2起了关键的作用。
8实际问题数学化
对于实际应用题的求解，我们往往采用数学建模方法，将问题转化数学形式来表示，使求解问题数学化，进而得到解决。
例8一个农民有一片广阔的草地用来放牛，假定草地上各处草的生长速度是均匀的，牛未吃草时，各处草地一样高，并且每头牛所吃的草也一样。已知3头牛在2周中能吃完2亩地上的草；2头牛在4周能吃完2亩地上的草，问要多少头牛才能在6周中吃完6亩地上的草？
分析：问题难点在于草是不断地生长的，牛要在6周中吃完6亩地上的草，则牛不仅要吃完原先已生长出来的草，而且还要吃完这6亩地上在6周里陆续长出来的草。
设x头在n周吃完m亩地上的草，每头牛每周的吃草量为v，牛开始吃草时，草的高度为ho，草的生长速度是每周长h，则nvx=m（ho+hn），其中v，m，h，ho为常数。
所以nxm=h0v+hnv①
于是将①式看成：nxm是关于n的一次函数（斜率为hv），因此设直线上的三点A（2，3×22），B（4，2×42），C（6，6x6），即A（2，3），B（4，4），C（6，x），根据直线方程的定义得：4-34-2=x-36-2所以x=5，即要5头牛才能在6周中吃完6亩地上的草。
巧妙转化灵活求解
数学中一种很重要的思想和很有效的方法是“转化你的问题”。G·波利亚一再指出：“当原问题看来不可解时，人类的高明之处就在于迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题。”这就是说，当我们碰到困难的问题时，要善于巧妙转化，化难为易，化未知为已知，达到灵活求解。
一、复杂问题简单化
复杂的问题常常是由简单问题构成的，因此，每遇复杂问题，总是设法将其转化为简单问题来处理，这也是转化中的一条重要原则。
例1已知a、b、c、d∈(0，1)，试比较abcd与a＋b＋c＋d－3的大小，并给出你的证明。
分析：先考虑一个简单的问题，比较ab与a＋b－1的大小。
∵ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝（a－1）（b－1）＞0
∴ab＞a＋b－1
这一探索过程有两方面的作用，一是在方法上是否有借鉴作用，即能否将abcd－（a＋b＋c＋d－1）也类似地进行因式分解呢？经过试探，回答是否定的；二是这个结论可以作为我们继续探索的工具。下面我们来比较abc与a＋b＋c－2的大小。
∵0＜ab＜1
∴abc＝（ab）c＞ab＋c－1
＞（a＋b－1）＋c－1
＝a＋b＋c－2
更进一步，则有
abcd＝（abc）d＞abc＋d－1＞（a＋b＋c－2）＋d－1
＝a＋b＋c＋d－3
对于一个聪明的解题者来说，先考虑问题的简单情形，从最容易解决的情况入手，然后再逐步推广到一般的情形，常常会收到意想不到的效果。
二、抽象问题具体化
如在解决抽象函数的问题时，往往需要借助具体函数，通过对符合条件的实例进行剖析，然后进行求解，做到抽象问题具体化。在中学阶段，抽象函数对应的具体特殊函数模型有：
抽象函数f（x）具有性质特殊函数模型
f(x+y)=f(x)+f(y)正比例函数：f(x)=kx(k≠0)
f(x+y)=f(x)·f(y)指数函数：f(x)=ax(a>0，a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y)对数函数：f(x)=logax(a>0，a≠1)
f(xy)=f(x)·f(y)幂函数：f(x)=xa
f(x)+f(y)=2f(x+y2)f(x-y2)余弦函数：f(x)=cosx
f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)·f(y)正切函数：f(x)=tanx
例2设函数f(x)的定义域关于原点对称，且存在常数a>0，使得f(a)=1，f(x－y)=f(x)-f(y)1+f(x)·f(y)问f(x)是周期函数吗？若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由。
分析：由于f(x)为抽象函数，故必须寻求感性实例的支撑，由f(x－y)=f(x)-f(y)1+f(x)·f(y)的结构，不难联想到两角差的正切公式，tan（α-β）＝tanα-tanβ1+tanα·tanβ，又y＝tanx的定义域关于原点对称，
且存在π4>0,使tanπ4＝1，故tanx是f(x)的一个原型，由于y＝tanx为周期函数，且π是它的一个周期，可猜想f(x)为周期函数，且4a是它的一个周期。进而证明f（x+4a）=f（x），得到f（x）为周期函数，它的一个周期为4a。
三、高维问题低维化
在不少数学问题中，常常将三维空间的问题，转化为二维平面的问题来处理，这是解立体几何问题的一条常见途径。
例3如图1正四棱锥的各条棱长均为a，M是PC中点，求沿着棱锥表面的A、M之间的最短距离d。
分析：从A出发，必须在三维空间越过侧棱PB（或PD）才能到达M点。较为复杂，因而想到将棱锥的侧面展开在同一平面上，转化为平面问题，以便于处理，如图2，在△PAM中∠APM＝1200，PA＝aPM＝a2
图2
∴d2=(a2)2+a2-a·a2·cos120°=74a2
∴d=72a
四、正面问题反面化
在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果。
例4已知抛物线C1：y=x2－x+m，C2：y=x2+2mx+4C3：y=mx2+mx+(m-1)若这三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点，试求实数m的取值范围。
分析：题设中“三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点”的情况比较复杂，共有三类七种，即：
（1）x轴与C1相交，而与C2、C3不相交；
（2）与C2相交，而与C1、C3不相交；
（3）与C3相交，而与C1、C2不相交；
（4）与C1、C2交，而与C3不相交；
（5）与C1、C3相交，而与C2不相交；
（6）与C2、C3相交，而与C1不相交；
（7）与C1、C2、C3都相交。
依次列式求解当然十分繁杂，换个角度考虑，“至少有一条与x轴相交”的反面，则应该是“三条与x轴都不相交”，记这时m的集合为M，利用补集的思想便可获解。显然，此时的解题过程大为简化。
五、陌生问题熟悉化
如果给出的问题感到陌生，将会影响数学思维，此时要进一步审题，分析当前问题与已解决问题之间的联系，如结构上的关联，形式上的相似，内在的和谐统一等等，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理。
例5设k∈R，关于x的方程x4－2kx2+k2＋2k－3=0有实根，求其实根的取值范围。
分析：原方程如果看成x的4次方程，就比较陌生而复杂，如果换个角度看问题，把它看成k的2次方程，就是熟悉的问题了，问题转化为k2+2(1－x2)k+(x4－3)=0有实数解，求x的范围，由△=4(1－x2)2－4(x4－3)≥0得x2－2≤0
∴x的取值范围是－2≤x≤2
六、实际问题数学化
对于实际应用题的求解，我们往往采用数学建模方法，将问题转化数学形式来表示，使求解问题数学化，进而得到解决。
例6一个农民有一片广阔的草地用来放牛，假定草地上各处草的生长速度是均匀的，牛未吃草时，各处草地一样高，并且每头牛所吃的草也一样。已知3头牛在2个星期中能吃完2亩地上的草；2头牛在4个星期中能吃完2亩地上的草，问要多少头牛才能在6个星期中吃完6亩地上的草？
分析：问题难点在于草是不断地生长的，牛要在6个星期中吃完6亩地上的草，则牛不仅要吃完原先已生长出来的草，而且还要吃完这6亩地上在6个星期里陆续长出来的草。
设x头牛在n个星期中吃完m亩地上的草，每头牛每星期的吃草量为v，牛开始吃草时，草的高度为h0，草的生长速度是每星期长h，则nvx＝m（h0＋hn），其中v、m、h、h0为常数。
∴nxm=h0v+hnv①
于是将①式看成：nxm是关于n的一次函数（斜率为hv），因此设直线上的三点
A（2，3×22），B（4，2×42），C（6，6x6），即A（2，3），B（4，4），C（6，x），根据直线方程的定义得：4-34-2=x-36-2
∴x＝5，即要5头牛才能在6个星期中吃完6亩地上的草。
总之，我们在平时的解题教学中，要培养“转化”意识，对于一些较复杂的问题，不要在“抽象”的迷宫里兜圈子，若改变方向，从新的角度、新的观点出发重新提出新的问题，亦即对原来的问题进行转化，使问题轻而易举地获解。
