如“球的体积”这一课的教学：球的体积如何计算？由于球具有对称性，所以可先探求半球的体积。对于旋转体我们只会求圆柱、圆锥的体积，不妨先考察半球与和它等底等高的圆柱、圆锥的体积之间有何关系？
如图：
由V圆柱>V半球>V圆锥
即πR3>V半球>13πR3
从而有一些学生大胆猜想V半球=23πR3，这时不妨让学生做一次实验：利用与半球等底等高的圆锥装满水倒入半球两次，恰好让半球装满水。由此证实他们的猜想，然后教师引导：如何证明V半球=23πR3呢？学生思考后，有学生提出根据祖原理，我们可以构造一个与半球等高、与半球被平行于底面的平面所截时截面面积相等的参照体，从而得到半球体积为一系列“薄圆片”的体积之和。将半球垂直于底面的半径作n等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层，每一层都近似于一圆柱形的“薄圆片”，所以“薄圆片”的体积也近似于相应圆柱的体积，这些圆柱的高为Rn，底面为“薄圆片”的下底面，因为第i层（由下向上数）“薄圆片”的下底面半径是由于学生还没学过极限的内容，所以（1）式的转化方向不
ri=R2［Rn(i-1)］2,i=1,2……n,则第i层“薄圆片”的体积是Vi≈πr2·Rn=πR3n［1-(i-1n)2］
所以V半球=V1+V2+……+Vn
≈πR3n{1+［1-12n2］+［1-22n2］+……［1-(n-1)2n］}
……
=πR3［1-(n-1)(2n-1)6n2］
所以V半球≈πR3［1-(1-1n)(2-1n)6］……(1)
是很明确。但是，当学生对比实验验证的结果：V半球=23πR3之后，发现所需证明的内容即为“（1-1n）2-1n6=13”即只要证明“（1-1n）(2-1n)=2”就可，从而想到：当n不断变大时（1）式的精确度越来越高，如果n变为无穷大时，则（1-1/n）(2-1/n)的值无限趋近于2，而且由（1）式可得半球体积的准确值，因此由极限的思想证得V半球=23πR3从而得到球的体积公式：V球=43πR3
本例通过观察猜想、并在实验验证猜想的基础上进一步通过严谨的逻辑推理证明，体现了利用直观来推动对数学的思考，但又以相对直观的数学对象为基础进行理性重建，不但培养了学生的直觉思维，而且还渗透了科学的数学方法——“分割求近似和，再由近似和转化为准确和”的方法。使学生从非形式化的、直观的、算法的相互作用中形成数学观，并培养学生“观察——猜想——化归——证明”的科学思维方法。
数学直观在发现、洞察、感悟数学问题的思路和方法上有其不可替代的优势，而严谨的逻辑思维在整理、条理化解题方面又极为关键。所以处于一线的教师需用心研究教材教法以及学生的发展需要。根据教材的内容，努力通过直观揭示概念、定理、公理、公式的发生发展过程和本质，帮助学生自主探索，理解数学概念的形成过程，数学公理，公式的发现过程，数学问题的求解过程。从而体现生动活泼的数学思维，再通过严谨的逻辑推理，领悟蕴涵在其中的科学的思想方法，使不同的教法之间达到取长补短，平衡互补与相辅相成的效果，促使学生的最优发展。
高中数学学案型自学辅导式教学初探
一、问题的提出
随着新课程改革的不断深入和社会对人才评价标准转变，培养学生创新精神和终生学习能力已成为我国学校教育的主旋律，然而学生学习能力培养的主渠道仍然是课堂教学。倡导积极主动、勇于探索的学习方式是《普通高中数学课程标准》中新的课程理念之一，它指出学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿、和练习，高中数学课程还应倡导合作交流、阅读自学、动手实践、自主探索等学习数学的方式。可见，新课程的改革呼唤数学课堂教学要走向自主化，要使学生从“学会数学”向“会学数学”转变，而学案型自学辅导式教学则是一种较好的途径。
二、学案型自学辅导式教学的概念
“学案”是相对“教案”的一个概念，是教师从教材的编排原则和知识系统出发，对课标、教材和教参资料以及自己所教学生的认知能力和认识水平等进行认真的分析研究后，所设计的供学生在整个学习过程中使用的，帮助学生顺利完成学习任务的导学方案，其着眼点则在于学生学什么和如何学，以学生为中心，强调的是“学”。
所谓“学案型自学辅导式教学”是指以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成教学任务的一种教学模式。这种教学模式一改过去老师单纯的讲，学生被动的听的“满堂灌”的教学模式，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，使主导作用和主体作用和谐统一，发挥最大效益。在这种模式中，学生根据教师设计的学案，认真阅读教材，了解教材内容，然后，根据学案要求完成相关内容，学生可提出自己的观点或见解，师生共同研究学习。这种教学模式一方面满足了高中学生思维发展的需要，另一方面又能满足高中学生自我意识发展需要，对学生的自我发展和自我价值的体现有十分积极的作用。而教师则不仅仅是知识的传授者，更重要的任务是培养学生的自学能力、自学习惯，教会他们怎样学习、怎样思考，提高学生分析问题、解决问题的能力。
三、学案型自学辅导式教学的理论依据
1建构主义的学习观和教学观
建构主义的学习观的核心思想可以概括为：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。强调知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构的方式而获得。
建构主义的教学观指出教师需要就学内容设计出有思考价值的、符合学生发展水平的、具有挑战性的问题，引导学生通过各种思维活动来建构起对知识的理解。在此过程中，教师要帮助学生维持学习动机，充分开展师生、生生之间的交流与合作学习，要耐心的听取学生的理解，有针对性的进行引导。
2主体教育的理论
主体教育理论认为，教学活动是一种培养学生主体性的创造性活动，在教学活动中，教育者应当为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件，并在教育过程中充分调动他们学习和自我发展的积极主动性，尊重学生的主体地位，发挥学生在学习过程中的自主性和创造性，不断提高学生的主体意识和创造能力，最终培养学生成为能够进行自我教育的社会主体。
四、学案型自学辅导式教学模式例举
学案型自学辅导式教学模式应包括以下环节：（1）提供学案；（2）自主学习；（3）合作互助；（4）交流展示；（5）总结评价；
下面是笔者用学案型自学辅导式教学模式执教《点到直线的距离》案例：
1提供学案
《点到直线的距离》学案
学习任务
这节课的学习任务是：给出已知点的坐标与已知直线的方程，求点到直线的距离，建立点到直线的距离公式。
学习重点与难点
1重点：点到直线距离公式的建立。
2难点：选择恰当的解决问题的方法。
学习内容
一、复习引入
（1）已知点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则|P1P2|=
（把其中一个元素换成直线，提出新问题：）
（2）已知点的坐标P0(x0,y0)，直线l的方程Ax+By+C＝20，如何用x0、y0、A、B、C表示点P到直线l的距离。
回忆：点到直线的距离，即由点P0画直线l的垂线，垂足为Q，只要求两点P0与Q之间的距离。
二、公式建立
你能完成下面的思路框图并据此推出点到直线的距离公式吗？
（1）思路框图：
（2）具体过程：。
（3）你还有其他方法吗？。
（注：独立思考后，合作、互相解决问题）
三、应用练习
例1求知P0（－1，2）到直线l：3x=2的距离。
解：
你还有其他方法吗？。
变式：（1）求点P0（－1，2）到直线l：3y=2的直线。
（2）求点P0（－1，2）到直线l：3x+3y-2=0的距离
例2已知点A（1，3），B（3，1），C（－1，0），求△ABC的面积。
解：。
你还有其他方法吗？（提示：割补法）。
四、拓展外化
探究：已知直线l1：3x-4y+8=0。l2：3x-4y+2=0，求l1与l2间的距离。
五、回顾反思
（1）这节课的主要知识点是；
（2）这节课的主要思想方法是；
（3）这节课你最大的收获是。
作业：第116页习题3．3A组第9题，B组第2、4题。
2自主学习
完成学案中的有关问题是学案导学的核心部分。教师在学生自学过程中应进行适当地、有针对性地辅导，使不同层次的学生都能较好地掌握学习内容，培养学生的自学能力。
3合作互助
在解决学案中相关问题时，学生将会碰到“难题”，这时，教师应该鼓励学生独立思考后，与同学合作、互助共同完成，教师应适当的参考到各小组中去，感受学生思维碰撞过程，培养学生的合作精神。
4交流展示
在学生基本完成学案内容时，教师应该组织学生对学案中的核心概念，主要思想方法，重点问题进行交流展示，以达到资源共享的同时，培养学生表达、交流能力。如：本节课学生在建立点到直线距离公式时，除教材上的方法外还产生了如“向量法”等多种方法，应该通过交流展示使全班同学得以共享。
5总结评价
这一环节要注意有的放矢，概括全貌，解决疑难，使知识条理化、系统化，总结的方式应该多样化，这里应该包括学生总结、教师总结；评价更要合理、科学，应有学生之间的评价，学生自我评价，教师评价，既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的过程；既要关注学生的学习水平，也要关注在学习中所表现出来的情感态度的变化。
五、学案型自学辅导式教学的功用和价值
1有利于突出学生的主体地位，培养学生的自学能力、探究精神和科学的思维品质
这种教学模式为学生营造了浓厚的主动学习的氛围，创设了更多的自主学习的机会和自主探究的主体活动，给学生提供了充足的思维时空。学生能积极地去动脑、动手、动口，课堂教学成了积极思维的王国。真正实现了从“学会”到“会学”的转变，教给学生的不仅是知识，还有探求未知领域的“点金术”“金钥匙”。有了长期的自学积极性和主动性，养成良好的学习习惯，学会学习成为必然，我们培养的学生不再是机械的“书橱”，知识的“容器”，而是会学习、有头脑、有胆识的高素质人才。
2有利于激发学生的学习兴趣,维持学习动机，使学生始终处于积极主动的学习状态
从学案设计到整个自学辅导的过程，教师始终发挥着激发和维持学生的学习兴趣与动机的作用。给学生提供的学案中，通过创设各种教学情境，激发学生的好奇心与求知欲望，造认识冲突，使学生对要学习内容产生兴趣；在学生自学、合作交流、自我评价、教师总结等环节，教师的一个重要作用就是激发学生的学习动机与维持学习动机，教师在对学生的辅导过程中，要做到点而不破、心求通而未得、口欲言而不能，给学生的思考留下一层溥溥的面纱，使问题具有诱惑力。从而很好地维持了学习动机，使学生始终处于积极主动的学习状态。
3有利于教师对学习者进行个别辅导，贯彻因材施教的原则，提高课堂教学的有效性
学案设计时注重了学生的个性差异，设计了不同学生需求的梯度导学、梯度导练的学习内容，使优秀生从学案的设计中感到挑战，一般学生受到激励，学习困难的学生也能尝到成功的喜悦，最大限度地调动学生的学习积极性，提高学生学习的自信心。加上教师通过学生自学时的个别辅导，加深了对每个学生基础水平、理解能力、性格特征等方面的了解，教师可以方便、清楚地知道学生理解了什么，解决了哪些问题，不理解什么，存在什么问题和困难，从而根据不同学生的特点进行有针对性指导，使教学效率更高，真正做到有效教学。
六、学案型自学辅导式教学的问题与对策
1教师认识上的不足
在教育的理论上，传统的数学讲解式课堂模式，大容量、高强度、多反复的课堂训练模式在大多数教师身上留下了深深的烙印，表现在担心学案型自学辅导式教学效率不高，怕影响其教学的进度与质量。而学案型自学辅导式教学与此则迥然不同，事实上，优秀的学案和针对性的辅导不仅能够提高学生学习数学的兴趣，激发学生的热情，而且能提高教学深度和广度，有利于学生的自己学能力、分析和解决问题能力的培养。因此，解决这些问题的对策是每位教师都要建立正确的人才观，即什么是学生最重要的、最需要的，什么是学生必须在基础教育阶段形成的且将来可迁移性的能力。
2学生自学的能力较弱
“自学”虽然不是一个陌生的概念，但现在真正要求让学生自己进行“有效自学”，学生往往表现出不知所措：第一是学生难以明确学习目标，自学对他们来说好像就是把书看一遍，或然能通过模仿例题解决简单的练习，但提不出问题，完成不了必要的归纳和总结；第二是大部分学生存在目标意识不强或遭遇挫折后容易夭折等一系列现象。因此，针对这些可能的问题，学案的设计应该明确学习目标，循序渐进，在学生自学容易出现困难的地方组织学生合作、交流，对基础较差的学生给予重点帮助，因材施教。通过创设情境尽可能的激发学生的学习兴趣、调动学生的积极性与主动性、维持学生的学习动机，逐步培养学生的有效自学能力。
3学案型自学辅导式教学“硬软件”跟不上
所谓“硬件”是指计算机（包括图形计算器）、各种数学软件等，由于长期以来数学与信息技术相结合始终是教师的事，学生只能有“欣赏”的份，计算机房只是供上计算机课使用，数学课中不能方便地使用，学生缺少自主探究与体验的机会。就“软件”而言，就更加缺乏，现行教材让直接让学生自学难度较大，教学杂志上关于学案的信息量也很少，教师又缺乏设计“有效学案”教学的经验。这就要求学校加大学案型自学辅导式教学所需要的软硬件的投入，确保学案型自学辅导式数学教学的正常开展。
七、结束语
叶圣陶老先生曾经说过，“教是为了不教”，掌握学习方法、具备一定的自学能力是新时代创造型人才所必须的，在提倡素质教育多年的今天，我们不得不重新审视传统的教育教学模式，探索各种有益的教学补充形式，使我们的数学教育教学水平和教学效果更上一个台阶。学案型自学辅导式教学的提出是一种必然，也是一种需要，更是新课程改革精神的体现形式之一。
高中数学“分层次教学”的认识与思考
