1933年，陈景润出生于福建省闽侯县（今福州市），母亲生了12个孩子，只有六个活了下来。小景润上有哥哥、姐姐，下有弟弟、妹妹，他排行老三，家里人都叫他“老三”。陈景润的大伯父、二伯父和父亲都在邮政部门任职，父亲职位最低，也还是一个邮政局的局长。陈家也算是个富裕家庭，这个老三，天性内向，不善言谈，不喜欢跟人交流，常常是一人独处，不肯跟大伙搭帮，大家都觉得老三是个“小怪人”。
“小怪人”有个好习惯，那就是爱看书，书中有着引他入迷的东西。父母尽量满足他的要求，不断地给他买书，所以他床头、桌上放了一堆堆各式各样的书。兄弟姐妹们在一起时，或者是哥哥姐姐的同学好友来玩时，他总是躲在房里看书，有时强行拉他一起玩，他也是抱着本书跟在后面应付着，不一会儿他就又溜了，藏在一个别人找不着的角落里，或在桌子底下，或在树丛里，哪怕那里很脏，有苍蝇蚊子叮咬，他都不在乎。大家又给他起了个外号叫“小书虫”。
小景润吃穿都不讲究，衣服是哥哥换下来的，吃饭时总是千呼万唤才过来，又总是第一个丢碗跑走。有时候连母亲的油煎鸡蛋没上桌，他就抹着嘴看书去了。叫他回来再吃，怎么哄劝，他都无动于衷。久而久之，兄弟姐妹中间，就数他长得瘦弱。所以，母亲特别留心在饭莱齐全后再叫他出来吃饭，或者第一个叫他，把他拖着上桌。他吃饭像是应付麻烦差事一样，匆匆吃完了就把饭碗一推，一扭身跑去看书。他当时并没有认识到时间是生命，但在他的心里，时间就是知识，看书比吃饭有滋味。他这种心情，母亲很能理解，从来不责怪他，只是亲切地站在一旁提醒他：“小三子，吃慢一些，别硬住了！多吃点嘛！身体更重要！”
1944年春，陈景润从小学毕业，进入刚刚创办的三元县立初级中学读书。学校设在山上的一座破庙里，条件很差，外面下雨，教室里也下雨。
在学校里，陈景润年龄小，又体弱多病，常有同学欺负他。陈景润受了欺负也没人听他倾诉委屈，只好憋在心里。他觉得自己无论在家里还是在学校中都很孤独，这时候他喜欢上了数学，觉得满心的忧郁在数学演算的过程中可以得到排遣。在中学时期，陈景润的性格变得更内向了。
让陈景润觉得幸运的是，在这个偏僻的山区学校里，他得到几位知识非常渊博的老师的教诲。这些老师是从沦陷区迁到三元来避战祸的大学教授或讲师。陈景润刻苦学习的精神感动了这些老师，他们十分喜欢这个勤奋的学生。这些老师也以丰富的学识赢得了陈景润的尊敬。在老师们的影响下，陈景润进一步迷上了数学，以至于演算数学题成了他生活中最大的乐趣。陈景润后来回忆道：“这几位老师培养了我学习数学的兴趣，帮我打下了坚实的数学基础。我后来之所以能在数学方面取得一定成绩，追根溯源，应当说是取决于这个阶段的学习与生活。”
抗日战争胜利后，陈景润一家回到了福州。他的母亲积劳成疾，不久就去世了。以前，陈景润虽然缺少母爱，但毕竟还有母亲的照顾，而现在他永远失去了母亲，心情十分悲痛。
1947年，陈景润考上了福建英华中学念高中。他是幸运的，在这所学校他又碰到了使他永远忘不掉的数学老师沈元先生。沈老师课讲得非常好，深入浅出又很有趣味性。陈景润听了沈老师的课，觉得眼界大开，第一次听说数学分为纯粹数学和应用数学两大部分。沈老师告诉学生们，纯粹数学是研究数与数之间的关系与空间形式。在数与数之间关系的研究中，讨论整数性质的一个重要分支是数论。17世纪法国大数学家费马是西方数论的创始人之一。中国古代数学家也对数论做出了杰出的贡献。《周脾算经》是最古老的古典数学著作。还有一部《孙子算经》，其中有条余数定理是中国人首创，大军事家韩信曾运用它来点兵，后来传到西方，被命名为“孙子定理”，这是数论中的一条著名定理，在近代数论研究中曾起过重要的作用。祖冲之算得的圆周率π的密率也比西欧早1000年。13世纪后半叶，更是中国古代数学发展的高峰。沈老师鼓励学生们努力学习数学，将来为祖国的数学事业多做贡献。
有一天，沈元老师给同学们讲了一个有关数论中的一道著名难题的故事。当年俄国的彼得大帝建立了彼得堡科学院，为使俄国在科学方面强大起来，聘请了一大批欧洲的大科学家前往工作，其中有意大利大数学家欧拉，还有一位德国数学家名叫哥德巴赫。1742年，哥德巴赫发现，每一个大于或等于四的偶数都可以写成两个素数之和。他对许多偶数进行了验证，都证明其观点是正确的，但他自己没有能力用数学方法证明它，于是写信给赫赫有名的大数学家欧拉，请他帮忙做出证明。后来欧拉在给哥德巴赫回信中写道：“我认为这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来。”一直到死，欧拉也没有能证明哥德巴赫猜想。从此，哥德巴赫猜想成了一道公认的数学难题。它吸引了许多著名数学家的目光，200多年来，数学家们都试图证明这个猜想，却没有人取得成功。
故事讲完了，沈元老师凝视着同学们，严肃地强调说：“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。”
同学们惊奇地瞪大了眼睛。
不久，沈元老师调到清华大学去了，可陈景润却把沈元老师和他讲的哥德巴赫猜想牢牢地记在了脑海里。
英华中学老师布置的作业量很大，有时一次出几十道习题，让同学们选做。陈景润总是把习题全部做完。陈景润的记忆力是硬练出来的，他总是把数、理、化的许多概念、公式、定理、定律背得滚瓜烂熟。
陈景润整天不吭声，却是个有独立见解的人。他认为，要想攀登科学高峰，就不能单纯跟在老师后面跑，而要独立思考。陈景润学习很努力，但并不太看重学习成绩，他常去学校图书馆，在那儿，他阅读了《微积分》、《达夫物理学》、《高等代数引论》等许多数学、物理学方面的书籍。这一时期的超前学习，使陈景润树立了自信心，鼓起了奔向成功的勇气。
陈景润毕业后留在厦门大学数学系资料室工作，虽然对外面的世界漠不关心，对自己日常生活也不讲究，却不乏年轻人的豪情壮志，他刻苦钻研华罗庚的名著《堆垒素数论》、《数论导引》。他没有昼夜，没有春秋，也不知道什么叫苦，什么叫乐，什么叫成功，什么叫失败，以滴水穿石的精神和超凡的韧劲，终于写成关于“他利问题”的论文，辗转交给华罗庚。华罗庚认真审阅后，交给了数论组反复审核，确认陈景润的想法和结果是正确的。华罗庚感慨万千地对他的弟子说：“你们呆在我的身边，倒让一个跟我素不相识的青年改进了我的工作。”
1956年8月，“全国数学论文报告会”在北京举行。经华罗庚推荐，陈景润参加了会议，并在会上宣读他的论文。《人民日报》在报道这次大会时，特别指出：“从大学毕业才三年的陈景润，在两年的业余时间里，阅读了华罗庚的大部分著作，他提出的一篇关于‘他利问题’的论文，对华罗庚的研究成果有了一些推进。”
从贫困中靠自学奋斗出来的华罗庚，曾有幸获得名师和伯乐的推荐、扶持而成为中国数学界的一代宗师。他以己推人，全力保荐，将陈景润调到北京，进入全国最高研究机构——中国科学院数学研究所，给他攀登科学高峰开辟了道路。
1966年春，33岁的陈景润掀开了数学史上闪亮的一页——终于攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的“1+2”，震惊了国际数学界。1973年在《中国科学》上发表了证明巴德巴赫猜想中的《H2》著名论文，创造了距离摘取这颗数学皇冠上的明珠（1+1）只有一步之遥的辉煌。在国际上引起了强烈的反响。
