老师哭笑不得。其实，从理论上讲这位学生说得并没有错。那是根据平面几何里的一条公理：“两点间线段最短。”不过，生活是在地球上的人类，习惯于把自身的活动，限制在这个星球的表面考虑。这样，上海与广州之间的最短路程，很自然地被理解为过上海和广州之间的一段大圆的弧。这段大圆的弧约长1200公里。
球面上过两点的大圆的弧，可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看为大圆的弧。
光沿直线前进的性质，这是物理学家早就注意到的。如图，由A点射出的光线，通过1上的点C反射到B点，则由入射角等于反射角推知，C点即线段A’B与1的交点。这里A’是A关于直线1的对称点。容易证明，对于1上的另一点C’，必有AC’+C’B>AC+CB。
事实上，AC+CB＝A’C+CB＝A’B＜A’C’’C’B。
＝AC’+C’B。
结论是很明显的。这表明光所走的折线ACB，是比A经1到B最短的路线。
不过，严格地讲，光所走的是一条捷径。即走完全程所用的时间最短。右图的情景，想必许多读者都见过：本来看不见的东西，在水中变得看见了。光线产生这种折转的原因，是因为光在空气中和水中速度不相同。造成光沿一条折线走比光沿一条直线走所花的时间更少。
你不妨亲手做一做下面的试验：
在光滑桌面的另一半，铺上一层薄薄的绒布。让一颗铁球由光滑面斜着滚向绒布。这时你会看到一种奇特的现象：铁球在绒布的交界处突然折转了方向，如同光线的折射一般。
出现上述现象的原因：是铁球在光滑桌面和绒布上行进的速度不相同。铁球也像光线一样，走的是一条捷径。
下面是一个有趣的问题：
一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？
我们可以把长方体（上图图a）的上底面及右侧面展开成图a’的平面图时，蜘蛛爬行的路必须是线段AMG或ANG中较短的一条。假令AB＝a，BC＝b，AE＝c，则由图知：
AMG=（b+c）2+a2=a2+b2+c2+2bc。
ANG=（a+b）2+c2=22+b2+c2+2ab。
当a＞c时，ANC＞AMG，说明蜘蛛应当沿折线AMG爬行，才能最快抓到苍蝇；反之，则必须沿折线ANG爬行。
很明显，对于可以展成平面的曲面，曲面上的捷径问题，都可以用类似上面展开的方法加以解决。下图的圆锥曲面就是一个例子。
然而，并非所有的曲面都能展开成平面。我们最常见的球面，其任何一小部分，都不可能毫无重叠或破裂而展成平面。这就是无论哪一种地图，总不可避免地要产生变形的原因，没有一点畸变的地图根本不存在。这样，当你翻开一张地图细心观察时，你便会发现一个有趣的现象，图上画的航线几乎都是一条条弧线（如上右图）。这才是真正的球面短程线——大圆弧线。而图面上看起来是直的线，实际上只是保持与经线等角的斜航线。
波浪曲线
有一个故事说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。有一天，老和尚对小和尚说：“从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，有一天……”无须再写下去，我想读者都知道如何继续这个故事。
在文学家的笔下，对于循环模式的描述，往往是很精彩的，但在数学家中，所有出现的事件y，都是时间x的函数y＝f（x）。而循环模式则表示对于变量x的任何值，存在一个常量T，使得：
f（x+T）＝f（x）
这里的T称为周期。上式表明，同样的事件，在经历了一个周期之后又回到了原先的状态，周而复始，如此而已。
拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断，再把卷起的纸展开，那么你将会看到一个波浪型曲线的截口。让我们看一看这是怎样的一条曲线？
如下左，设圆柱体为蜡烛的一段，底半径为R，截口中心为S。过S作垂直于圆柱轴线的截面，与原截口曲线交于两点。取其中一点0为原点，在过O且与圆柱相切的平面内建立直角坐标系XOY，使OY为圆柱的一条母线。显然OX切于圆S。
设想卷在圆柱上且已被切断的纸是慢慢展开的。令P为截口曲线上一点，Q是它在圆S上的射影，又展开角∠OSQ＝α。则x=OQ=αRy=PQ=（Rsinα）tanθ式中θ为斜截面与圆S平面的夹角，为一常量。
把上述变量y表示为变量x的函数，即得y=（Rtanθ）sin（1R）x。
令A=Rtanθ，ω=1R，立得：
y=Asinωx。
原来得到的是振幅为A，频率为ω的正弦曲线。容易明白，当纸张从O开始，展开一圈又回到O时，完成了一个循环，这一循环的周期T，恰等于圆S的周长，即T=2πR=2πω。
后一个式子对于求一般正弦函数的周期是很有用的。
自然界里正弦曲线是很多的。往水池里扔一块石头，便会看到圆形的水波逐渐向四周扩展；拿一根长绳，抓住其中一头上下振动，你会看到一个个波浪传向前方，即使振动的那一头已经停止动作，已经形成的波形仍会继续传向远处。
在数学家眼里，上面的一系列现象称为波的传送。数学家们运用自己的智慧，巧妙地把这种运动用函数表示了出来。
下图是一个弦振动的例。弦起初静止，t＝0时，给它一个初位移。令初始位移函数为f（x），图中f（x）=1—｜x｜｜x｜≤1。0｜x｜＞1。
而表示图中波传播的函数式可以写为u（x，t）=12［f（x+vt）+f（x—vt）］
式中V是波的传播速度。
值得注意的是，大多数的波未必就是正弦波。例如声波就常常具有令人难以置信的复杂波形。
公元1822年，法国数学家傅立叶证明了任何曲线都可以由正弦曲线叠加而成，他甚至找到了构成叠加的方法。傅立叶的出色工作，使一门近代的数学分支，以他的光辉名字命名。
对称的启迪
二百多年前德国九岁的小高斯，以出乎老师意料的速度口算出1+2+3+4+…+97+98+99+100＝5050。他采用的实际上是对称的方法。这种方法渊源古老，少说也有几千年。当人们第一次进行梯形面积计算时，所用的就是这种方法。
公元1796年，当高斯19岁时，他以其特有的关于对称的思考，一举推翻了两千年来人们关于“边数为大于5质数的正多边形，不可能用尺规作出”的猜想。确确实实地找到了正十七边形的作法。
下表列出了边数n不超过100，而能用尺规作图的正多边形种类，总共24个：
图形的对称，表现为数学的以下式子：
I：f+（—x）＝f+（x）
II：f—（—x）＝—f—（x）
边数n的形状能用尺规作的正n边形2m4，8，16，32，64。
2m+13，5，17。
边数n的形状能用尺规作的正n边形：2mP1P2…Pk（Pk＝22k+1）
6，12，24，48，9610，20，40，8034，6815，30，605185。
满足I式的函数y＝f+（x），称为偶函数，它的图像对于OY轴为对称；满足II式的函数y＝f—（x）称为奇函数，它的图像对于原点为对称。
事实上，任何一个图形都可以看成是一个轴对称图形和一个心对称图形的叠合。代数语言表述是：任何一个x的函数f（x），都可以表示为一个偶函数f+（x）和一个奇函数f—（x）的和。即f（x）=f+（x）+f—（x）。
因为f+（—x）=f+（x）f—（—x）=—f—（x）
所以f（—x）＝f+（—x）+f—（—x）＝f+（x）—f—（x）
从而：
f+（x）=12［f（x）+f（—x）］f—（x）=12［f（x）—f（—x）］
上图的粗实线所代表的函数f（x）是由虚线所代表的奇函数和细实线所代表的偶函数相加而得。
关于对称图形，对称中心或对称轴处于一种十分特殊的地位。这种位置在解题中往往起着关键的作用。
下面是一道精彩的智力思考题：
A、B是两根形状和重量都一样的条铁，其中有一根带有磁性。如果不用这两根条铁以外的东西，问怎样才能辨出哪根是磁铁？
两根条铁放成“T”字型。这种对称的放置，实际上已经给出了问题的解答。接下去的判定就留给读者了。
对称的启示，常常产生意想不到的效果。请看下面一例：
某食糖商店天平坏了，商店负责人决定不再零售食糖，不巧此时来了一位顾客，急需一千克食糖，售货员急人所难，采用了通融的办法，把一千克糖分成两份来称。第一次天平的右盘放500克砝码，左盘放食糖，取平衡；第二次右盘放食糖，左盘放500克砝码，也取平衡。售货员想，天平已经不准确了，它的左右臂长不相等，这样两次称出的糖一定有一次比500克多些，而另一次则少些，两次加在一起，取多补少，大约该是1000克，即1千克吧。于是，他向顾客收了一千克食糖的钱。
话说那位顾客可是个喜欢动脑筋的人，当他看到售货员的动作，心里便明白了三分，思考片刻后他发话了，说是售货员少收了钱，所称食糖不止一千克。亲爱的读者，你知道这位忠诚的顾客是怎样作出判断的吗？
原来他是根据杠杆原理，由两次称量得出两个对称的关系式：
W1a=500bW2b=500a。
所以W1+W2=500ba+ab。
≥500×2ba·ab=100。
因为a≠b。
所以W1+W2>1000。
不过，读者如果动脑筋，还能找到更聪明的称糖办法。
