此时，不搞数学的人就有权提问了：“那样怎么样？数学就搞这么一点事情吗？阿拉伯的教授，现代数学家都玩时间研究这些优美的游戏吗？”对这样的问题，不可预料的答案是——嗯，这不是游戏。它使我们直接面对很难记忆的东西，这就是说，我们生活在一个特别的空间里，三维、平直，而这个空间的性质是很难破解的。问到什么样的操作会使一个图案转回自身的时候，我们是在发现看不见的法则，它统治着我们的空间。我们的空间只能够支撑某些种类的对称，不仅仅在人造的图案当中，而且还在自然本身对其基本的原子结构施加的一系列规则当中。
掩盖住空间的天然图案的结构就是晶体。当你看着尚没有被人类的手摸过的一个晶体时，比如说冰洲石，你会万分惊讶地发现，它的外面为什么是规则的这个现象并无现成答案。为什么它们应该是平直的平面这一点也不是不证自明的。这就是晶体的来由，我们习惯于它们是规则的，对称的，但为什么呢？它们不是由人，而是由自然弄成那个样子的。那个平直的表面就是原子聚合的方式，等等。平直的性质，规则的外表，是空间对物质施加的强力造成的，这跟空间给了摩尔图案以我刚刚分析过的那种对称性的最终结果是一样的。
我们拿一块漂亮的黄铁矿块来。或者，我们也可以拿来一块萤石，那是我看来最精美的一种晶体，它是八面体的。（这也是钻石晶体的天然形状。）它们的对称是我们生活其间的空间的本质施加它们的——三维的，是我们生活其间的平直的空间。无论多少原子，都无法打破自然的这一基本法则。跟构成一个图案的各个单元一样，晶体中的原子以各个方面叠加在一起。因此，跟一个图案一样，晶体也必须有一个形状，也必须在无限多的方向上延伸自己或者重复自身。这就是一个晶体的各个面只能够有某些形状的原因。它们不能够拥有任何不对称的图案。例如，惟一可能存在的旋转是两次或四次翻转一个周期，或者三次或六次翻转一个周期，不能够有更多的了。也不能够有五次。你不能够使一批原子集合来构成这样一些三角形，它们能规则地每次五个地安放在空间当中。
思考这些图案的外形，在实践当中穷尽空间对称的可能性（至少在二维当中），这是阿拉伯数学家的伟大成就。它有一个极其惊人的结果，1000多年前就已经发生。国王、裸女、阉人和瞎眼的乐师构成了一个惊人的形式图案，在这个图案当中，对已经存在的东西的探索达到了完美程度，但可惜他们却再也没有追求变化。数学当中没有任何新的东西，因为人类的思想里面并无新东西，直到人类的攀升到达另一个不同的动态为止。
约在公元1000年，基督教开始在西班牙北部地区复苏，落脚点是像桑迪拉纳村这样的沿岸地带，是摩尔人从来没有征服过的地区。在那里，基督教是大地的宗教，用村庄的简朴形象表达出来，牛、驴、上帝的羔羊等。动物形象在穆斯林崇拜里是无法想像的。而且，不仅仅动物形象允许表达，上帝之子还是一个孩子，他的母亲还是一个女人，也是个人崇拜的对象。圣母玛利亚也排列在崇拜对象里面的时候，我们就处在不同的一个视觉宇宙里：没有抽象的图案，只有丰富和无法抑制的生活。
基督教在西班牙得以恢复时，大部分都在边境地区。在这些地方，摩尔人与基督徒，还有犹太人，都混居在一起，构成了不同信仰群集的特别文化。1085年，这种混居文化的中心有一段时间固定在托雷多城。托雷多是一个门户，阿拉伯人从希腊，从中东和亚洲带回的全部古典学识都经由这里输入欧洲。
我们觉得意大利是文艺复兴的诞生地。但是，这个概念在12世纪的时候却发生在西班牙，而且由托雷多的一所著名的翻译学府来象征和表达。在那里，古代的文本从希腊文（欧洲人已经忘了希腊语）经由阿拉伯语和希伯来语翻译成拉丁文。在托雷多，除开其他知识上的进步之外，还画成了第一批天文学上的图表，作为星星位置的百科全书。从这些图表里可以看出城市的特点，时代也是基督教的，但是，数字却是阿拉伯式的，而且到现代还可以辨认出来。
最著名和最有智慧的译者是克里蒙纳的杰拉德，他是意大利人，专门来找托勒密的天文书《历书》，他在托雷多住了下来，翻译了阿基米德、希波克拉底、盖伦、欧几里德的著作，这些都是希腊科学中的经典著作。
但是，就我个人看来，在被翻译过作品的人当中，最引人注意，而且从长期的眼光来看最有影响力的人物。却不是希腊人。这是因为我对空间物体的感知比较有兴趣。而在这个学科上，希腊人恰恰完全弄错了。对天体的理解最早是在公元1000年由一个古怪的数学家开始的，我们今天称他为阿尔哈桑，他是阿拉伯文化产生出来的真正具有创造性的科学头脑。希腊人原以为光是从眼睛投向物体的。阿尔哈桑第一个确认，我们看到一个物体，是因为物体的每一个点引导并反射光线到眼睛里。希腊人的概念不能够解释一个物体，比如我的手，看上去在移动的时候会产生大小的变化。阿尔哈桑解释说，很明显，来自我的手的轮廓和外形的光线的锥角，会在我将手从你跟前移开的时候变窄，当我把手移向你的时候，进人你眼睛的光线的锥角会变大，并且对着更大的一个角。这样，也只有这种情况才能够解释大小上的差别。这是如此简单的一个概念，但是，在600多年的时间里，科学家们竟然没有注意到它（罗杰·培根是个例外）。但是，画家在很早以前就注意到这个现象了，而且是以实用的方法认识到的。来自物体针对眼睛的光线锥角的概念成为透视法的基础，而透视法就是使数学复生的新主意。
透视法引起的激动于15世纪感染了意大利北部、佛罗伦萨和威尼斯的艺术。阿尔哈桑《光学》一书的翻译手稿收藏在罗马的梵蒂冈图书馆里，后来为罗伦索·吉伯蒂加了注解。罗伦索在佛罗伦萨的洗礼堂大门上制作了著名的青铜透视作品。他并不是透视法的第一个开拓者，第一个开拓者可能是菲力波·布鲁内尔齐，但已经有足够多的人组成一个透视画法的学派了。这是一个思想学派，因为它的主张不是简单地使画而更具生活气息，而且还要创造其在空间中的运动感。
如果我们把透视画派的作品与更早期的一些作品进行比较的话，这种运动感就很容易看出来了。卡帕齐奥的圣厄休拉的画描述她离开梵蒂冈一个雾蒙蒙的码头，是1495年作的。明显的效果就是让观画者有了三维的视觉空间，正如这个时候，人们的耳朵已经开始听到欧洲音乐当中出现了更大的深度更大的广度一样。但是，最终的效果不是深度，而是运动感。跟新音乐一样，会在我将手从你跟前移开的时候变窄，当我把手移向你的时候，进人你眼睛的光线的锥角会变大，并且对着更大的一个角。这样，也只有这种情况才能够解释大小上的差别。这是如此简单的一个概念，但是，在600多年的时间里，科学家们竟然没有注意到它（罗杰·培根是个例外）。但是，画家在很早以前就注意到这个现象了，而且是以实用的方法认识到的。来自物体针对眼睛的光线锥角的概念成为透视法的基础，而透视法就是使数学复生的新主意。
透视法引起的激动于15世纪感染了意大利北部、佛罗伦萨和威尼斯的艺术。阿尔哈桑《光学》一书的翻译手稿收藏在罗马的梵蒂冈图书馆里，后来为罗伦索·吉伯蒂加了注解。罗伦索在佛罗伦萨的洗礼堂大门上制作了著名的青铜透视作品。他并不是透视法的第一个开拓者，第一个开拓者可能是菲力波·布鲁内尔齐，但已经有足够多的人组成一个透视画法的学派了。这是一个思想学派，因为它的主张不是简单地使画而更具生活气息，而且还要创造其在空间中的运动感。
如果我们把透视画派的作品与更早期的一些作品进行比较的话，这种运动感就很容易看出来了。卡帕齐奥的圣厄休拉的画描述她离开梵蒂冈一个雾蒙蒙的码头，是1495年作的。明显的效果就是让观画者有了三维的视觉空间，正如这个时候，人们的耳朵已经开始听到欧洲音乐当中出现了更大的深度更大的广度一样。但是，最终的效果不是深度，而是运动感。跟新音乐一样，这幅画和它里面的内容都是活动的。总的来说，我们感觉画家的眼睛在运动中。
把100多年前画的一幅佛罗伦萨的壁画拿出来比较一下，是约公元1350年画的。那是从墙外看去的一个城市的画面，画家天真地看到墙里和房屋顶层对面的内容，就好像这些房子都一层层排好了一样。但这不是画技的问题，而是意图的问题。画家投有想办法去使用透视法，因为他觉得自己是在记录事物，不是他看到的样子，而是事物本来的样子。这是上帝之眼，是永恒真理的图画。
使用透视画法的画家有不同的意图。他有意避开任何绝对和抽象的景观。一个地方就是为我们固定下来的一刻，是一闪即逝的过去：时间上的视点大于空间中的视点。所有这些都通过准确和符合数学的方法实现。这个方法已经为德国画家阿尔布莱希特·丢勒小心地记录下来了。丢勒于15D6年旅行到意大利，学习“透视法的秘密”。丢勒本人当然也固定了时间的一刻，如果我们再创他的情景，就会看到一名画家选择了戏剧性的一刻。他可以在围绕模特走动的时候较早停下来。他也可以继续走下去，使那个视觉稍后再固定下来。但是，他选择睁开自己的眼睛，跟相机的快门一样开着，找到光线最强烈的一刻，此时，他可以看到模特的整个脸部。透视法并不是一个观点，对于画家来说，它是一个活动和连续的操作。
在早期的透视法当中，人们习惯于利用一个观测器和一个格栅保持住视力的瞬间。观测器来自天文学，画画用的画纸已经画好方格，它现在是数学的备用品。丢勒喜欢描绘的自然的细节是时间的动态的表达：牛与驴，年轻人看到圣母脸颊时脸红的时刻。这幅画是“圣哲崇拜”。来自东方的一位智者找到了他们要找的那颗星，它所宣布的就是时间的诞生。
丢勒画中心的圣餐杯，就是教授透视画法的一个试验品。例如，我们有乌塞罗对圣餐杯的样子的分析，我们可以将它移植到计算机上去，就跟透视画家们所做的一样。他的眼睛就跟转盘一样跟随和探索着移动的形状，使圆拉长变成椭圆，并捕捉住时间的一刻，使其成为空间的拖痕。
分析一个物体变动中的运动，正如我在计算机上做的一样，对于希腊人和伊斯兰的思想者来说是相当不可理解的。他们总在寻找不变化和静止的东西，那是一个没有时间的，有着完美秩序的世界。对他们来说，最完美的外形是圆。运动必须平滑地进行，在圆中规则地运动，这就是球体的和谐。因为这个原因，托勒密的系统就建立在圆上，时间沿着圆圈规则地运动，不受阻挠地运动。但是，现实世界里的运动却不是规则的。它们会改变方向和速度，每一刻都不一样，它们不能够进行分析，除非数学已经发明，使时间成为其中的一个变量。这是天体当中的一个理论问题，但是，在地上来说，这是非常实用和立即看得见的，比如投射物体的飞动，植物突然性的生长，液体单次溅落，其间会发生很多形状和方向上的突然变化。文艺复兴时期并没有科学设备可以一刻一刻地停止画面。但是，文艺复兴时期有智力上的设备，画家内在的眼睛，还有数学的逻辑工具。
这样，乔汉纳斯·开普勒就在1600年以后坚信，行星的运动不是圆形的，也不是规则的。它是一个椭圆，行星沿着这个椭圆以不断变化的速度前进。这意味着，老式的表态模式的教学不够用了，规则运动的数学也不行了。人们需要全新的数学来确定和运作瞬间的运动。
瞬时运动的数学由17世纪末期的两大超级头脑发明出来了——艾萨克·牛顿和高特弗雷德·韦尔汉姆·莱布尼茨。我们现在非常熟悉把时间当作自然描述中的一个自然的元素来看待，但是，当时可不是这样的。是他们把正切、加速度、斜面、无穷小和差数的概念引进来的。有一个词现在已经被人们忘记了，但是，那个词实际上是牛顿给像快门一样停顿下来的一个时间的流量能够起的最好的名字：流数是牛顿给我们现在通常（莱布尼茨之后）称为微积分的东西取的名字。如果仅仅觉得那只是更先进的一个技法，那可真是错过了它真正的意义。在流数当中，数学成为思想的动态模式，而这是人类的攀升当中极大的思想进步。使其产生作用的技术概念，说起来真是奇怪，就是无穷小的概念，而给这个概念一个积极意义又是智力上的突破。但是，我们也许可以把这个技术概念的事情留给专业工作者去伤脑筋，我们只需要称它为关于变化的数学便可以满足了。
自然的法则一直是由数学构成的，自从毕达哥拉斯说这是自然的语言时起就一直如此。但是，现在，自然的语言必须包括描述时间的数字了。自然的法则成为运动的法则，而自然本身也不仅仅成为一系列静态的方框，而且还是一个移动的过程。
