我国著名数学家华罗庚最使人们感到惊奇的是，自然界很多现象都与斐波那契数列有关。科学家们发现蜜蜂的繁殖速度也符合斐波那契数列。除了动物的繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。如果一棵树每年都在生长，那么，一般说来，第一年只有主干，第二年有2枝，第三年有3枝，最后是5枝、8枝、13枝等，每年的分枝数正好为斐波那契数。还有一些学者发现自然界中花朵的花瓣数目也与斐波那契数有关。生物学中的“鲁德维格定律”，就是斐波那契数列在植物学中的应用。对于以上现象怎样解释呢？是偶然的巧合吗？大多数科学家认为，绝不是巧合。是这些动植物也懂得优选法吗？不是！其实道理很简单，自然界的生物在进化过程中都不自觉地服从着一条原则——“适者生存”，只有按照最优方案发展，才能很好地生存下去，否则就会慢慢被淘汰。这个说法正确吗？至今还被人们研究和印证着。
不可思议的“倍增效益”
两千多年前的希腊著名数学家阿基米德，曾经和当时的希腊国王打赌，让他在象棋格子盘（国外象棋每盘有64格）上每格每天放米，要求以后放的米粒数是前一天的一倍……等到国王按规则放完64倍后，他竟然输掉了全国的谷仓！……这就是倍增法的神奇效应，从最初的一个很小的数字，最后变成成千上万甚至无穷大……其效果是一般人无法想象的。这不仅反映一个数字规律，生物界的很多生物的生长都是遵循这一规则的，包括我们人类的细胞变化……从一定程度上来说，是倍增法则造就了这个丰富多彩的世界，也是倍增规律令我们感受到世界的神奇……倍增法则的存在告诉我们，任何事物都是人类可以掌控的。倍增的规则引发的后果可能令人目瞪口呆，开始微不足道的数字会变成巨大的不可想象的数字。因此，如果有人用倍增法和你打赌，你一定不能应战。另外，刚开始听起来很占便宜的事情，往往会吃亏。下面这个故事就是一个关于倍增应用的有趣的故事。
符合倍增法的植物
从前国外有个贪财的大富翁，虽然已非常有钱，可是每天还在盘算着如何得到更多的钱。一天，富翁在路上遇到一个衣着俭朴的年轻人，他连眼皮也没眨一下，就走了过去。年轻人自言自语地说：“1分钱换10万元总会有人干的……”富翁一听，急忙回头叫住年轻人：“喂，你说的换钱是怎么回事？”年轻人很有礼貌地一鞠躬说：“先生，是这样的，我可以在一个月内，每天给你送来10万元钱，虽然不是白给，但是代价是微不足道的，第一天只要你付我1分钱。”“1分钱？”富翁简直不敢相信自己的耳朵。“对，是1分钱。”年轻人说，“第二天再给你10万元时，你要付两分钱。”富翁急切地问：“以后呢？”“第三天，付4分钱；第四天，付8分钱……以后每天付给我的钱数都要比前一天多一倍。”“还有什么附加条件呢？”“就这些，但我们俩都必须遵守协定，谁也不准反悔！”于是，俩人签订了协定。10万元换几分钱！真是难得的好事！富翁满口答应：“好！就这样。”第二天一清早，年轻人准时到来，他说：‘先生，我把10万元送来了。”随即从大口袋里掏出整整10万元，并对富翁说：“下面该你付钱了。”富翁掏出一分钱放在桌子上，陌生人看了看，满意地放入衣袋说：“明天见。”说完走出门去。10万元钱从天而降！天下最大的便宜事叫富翁遇上了，他赶忙把钱藏了起来。第二天早晨，年轻人又来了，他拿出10万元，收下两分钱，临走时说：“明天请准备好4分钱。”第二个10万元又到手了！富翁乐得手舞足蹈。心想这个年轻人又蠢又怪！世上这样的人要是多几个多好，我们这些聪明人就会发了还要发，变成举世无双的大富豪了。第三天，年轻人用10万元换走了4分钱。第四天换走8分钱，以后又是1角6分、3角2分、6角4分，七天过去了，富翁白白收人70万元，而付出的仅仅是1元2角7分，富翁真想把期限再延长些，哪怕多半个月也好呀！年轻人照常每天送10万元来，第八天付给他1元2角8分，第九天付2元5角6分，第十天付5元1角2分，第十一天付10元2角4分，第十二天付20元4角8分，第十三天付40元9角6分，第十四天付81元9角2分。十四天过去了，富翁已经收入整整140万元，而付出的才150元多一点。又过了一段时间，富翁慢慢感到年轻人并不那么简单了，换钱也不像最初想象地那样合算了，十五天过后，每收入10万元，付出的已是几百元了，不过，总的来说还是收入的多，支出的少。可是，随着天数的增加，支出在飞速地增大，纯收入在逐日减少，第二十五天，富翁支出167772元1角6分，第一次超过了收入；第二十六天支出335544元3角2分，大大超过了收入；到了第三十天支出竟达5368709元1角2分。年轻人最后一次离开时，富翁连续算了一昼夜，终于发现：为了收入330万元，他付出了10737418元2角3分，亏了近800万元，富翁失算了！计算一下富翁付出的总钱数，以分为单位的话，就有以下三十个数相加：1+2+4+8+16+32+64+……+538870912。为了算出这个和，可以写成算式：1+2+4=2×2×2-11+2+4+8=2×2×2×2-1，……1+2+4+8+……+536870912=2×2×…×2-130个=1024×1024×1024-1=1073741823（分）从一分钱到一千万，短短的三十天时间，就发生了如此不可思议的改变！这是一个以智慧取胜的故事。其实倍增就是一种智慧，可以被运用到生活各个方面。它带来的效果总是神奇的。
扑朔迷离的“回文数猜想”
“回文”是文学中的一种修辞方法，指写成的句子前后两个字相同，就像“回”到了以前一般，因此称为回文。回文句正读倒读都可念，而且都可以读得通。这是文学中比较有趣的一种现象。但是这种现象在数学中也存在，我们称之为“回文数”比如121，101等等，指正读倒读都是同一个数。更有趣的是，人们在寻找回文数的时候发现，把任意一个两位以上自然数倒过来相加都能得到一个回文数。这就是著名的“回数猜想”。但是这个规则是不是放之四海而皆准呢？目前仍然没有人能证明。因此这是一个数学上著名的未解之谜。前面提到过哲学和数学相通的问题，但是数学和文学同样也有相通的现象，这听起来似乎令人觉得不可思议。但是的确存在，“回文”就是其中一例。传说，古代有一个秀才游桂林的斗鸡山，觉得山名有趣，信口说出一句话：“斗鸡山上山鸡斗。”他想把这句话作为上联来对一副对联，可是下联自己也对不上来。回家后便请教自己的老师，老师想了一下说：“我不久前游览了龙隐洞，就以此给你对个下联。”老师念道：“龙隐洞中洞隐龙。”对得很巧。这是一副回文对联。古代诗人王融曾写过一首著名的回文诗：“风朝拂锦幔，月晓照莲池。”反过来读：“池莲照晓月，幔锦拂朝风。”不管怎样读，都是一首诗。有趣的是，数学家族里的主要成员数中也有回文的，你看数101，正着读倒着读都是101；再看32123，正着读倒着读都是32123。这种正反读都一样的数很多，数学家给它们起了一个特殊的名字——回文式数，简称回文数。围绕着对回文数的研究，数学家们发现，有的回文数不老实，不是明明白白地站在数字的队伍里，而是隐藏在其他数里，经过特殊变换以后才显露真容。比如83，它不是回文数，将它与其倒数相加，83+38=121，就变成了回文数121。经过多次验算，数学家提出了一个猜想：任取一个自然数，把它倒过来与原数相加，然后把这个和数再与它的倒数相加，一直重复这个运算，最后总能得到一个回文数。数学家把这个猜想叫做“回数猜想”。请看：83：83+38=121，经过1步运算就能得到回文数121；68：68+86=154，154+451=605，605+506=1111，1111是回文数，只需3步运算就能得到；195=195+591=786，786+687=1473，1473+3741=5214，5214+4125=9339，要运算4步，得到的回文数是9339。是不是所有数经过上述运算都能产生回文数？也就是说，回数猜想是对的还是错的？这个问题至今没有解决。最初，人们是一个数一个数地去验算。当有人对196进行上述运算时，算了5万步，所处理的数已达到21000位，仍没有获得回文数。人们就猜测，也许196永远也变不成回文数。如果真的是这样，那么“回数猜想”就是错误的。然而，不管你算了多少步，这种运算总没到头，没到头就不能否定，要否定必须给出足够的理由。后来，人们又发现，在10万个自然数中，有5996个数，不管运算多久，似乎也产生不出回文数，196就是其中最小的一个。但是，不管怎样运算，就是没有人能找出它们产生不了回文数的确凿证据来。所以只能用含糊的词“似乎”来表述。此路不通。一些数学家就采取另外的方法来研究。他们对既是质数又是回文数的数进行了特别的研究，一方面想看看这些数有什么特性或规律，另一方面也想从中找出证明回数猜想的蛛丝马迹。通过研究，数学家发现了一些有特殊性质的回文质数。比如19391，把它的5个数字写在一个圆周上，你从其中任一个数开始，不管是顺时针写还是逆时针写，写出来的5位数都是质数。这种回文质数很少。数学家还发现回文质数除11外必须有奇数个数字。因为每个有偶数个数字的回文数，必然是11的倍数，所以它肯定不是质数。比如125521是一个有6位数字的回文数。判断能被11整除的方法是：一个数所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是11的倍数，那么这个数就能被11整除。125521的奇数位数字是1、5、2，而偶数数字是2、5、1，而偶数位数字是2、2、1，它们和的差是：（2+5+1）-（1+5+2）=0是11的倍数，所以125521可以被11整除，它不是质数。有些回文数相乘之后，所得乘积还是回文数。例如212X141=29892。这样的例子还不少：11X11=121，22×22=484，111X 111=12321，111X 121=13431，111X131=14541，121X212=25652。在回文数中平方数是非常多的，比如121=112，12321=1112，1234321=11112……一直到12345678987654321=1111111112。你随意找一些回文数就会发现，平方数所占的比例比较大。立方数也有类似情况。比如1311=113，1367631=1113等等。对回文质数的研究虽然取得了一些成绩，发现了一些特性，但是用它们也不能证明“回数猜想”。“回数猜想”证明不出来，却没有挡住数学家想象的驰骋。他们又大胆地猜想：回文质数有无穷多个；回文质数对（中间的数字是连续的，而其他数字都相等，如30103和30203）也有无穷多对。但是也没有人能证明这些猜想是对的。扑朔迷离的回文质数又给数学家们出了一个难题。回文数无论在文学还是数学中都是一个有趣而奇特的现象。虽然关于它的奥秘，还没有完全解开，但是它们的存在向人们证实了，自然界永远有神秘的现象等待人们去揭示。
